Nascut el 1988 a Barcelona, Pau Codina va començar els seus estudis de violoncel a l'edat de cinc anys amb Eulàlia Subirà, a Manlleu. S'ha graduat a l'escola Yehudi Menuhin de Londres, a la Guildhall School of Music & Drama i a la Chapelle Musicale Reine Elisabeth de Brussel·les, on va rebre el mestratge de Louise Hopkins i de Gary Hoffman, entre altres.

Ha tocat arreu d'Europa i en prestigioses sales com el Wigmore Hall, el Royal Festival Hall, el Concertgebouw d'Amsterdam, Flagey, Bozar, l'Auditori Pau Casals, i a L'Auditori de Barcelona i el Palau de la Música Catalana, en ambdós com a solista i músic de cambra. Com a solista ha tocat amb orquestres com l’Orquestra de la RTVE, l'Orquestra Simfònica de Barcelona i Nacional de Catalunya (OBC), l’Orquestra Simfònica del Vallès, l’Orquestra de Cambra d’Andorra i l’Orquestra de Cambra Franz Liszt de Budapest. Ha enregistrat la Suite per Violoncel i Orquestra Op.16 de C. Saint-Saens amb l’Orquestra Real Filharmònica de Liege sota la direcció de Christian Arming per al segell discogràfic Fuga Libera, i també va debutar amb l’Orquestra Simfònica de Barcelona i Nacional de Catalunya a L’Auditori de Barcelona i més recentment, amb l'Orquestra Camera Musicae (l'actual Franz Schubert Filharmonia) dirigida per Salvador Mas, interpretant el Concert per a violoncel en La menor, op. 129 de Robert Schumann.

Entre els premis que ha obtingut destaquen el 1r premi del concurs Guilhermina Suggia de Londres, el premi Schlosskonzert del Festival Internacional de Kronberg, el 3r premi i el premi de la crítica atorgat per unanimitat del Concurs Primer Palau de Barcelona i el 1r premi així com el premi especial EMCY del Concurs Permanent de Joventuts Musicals d’Espanya.

Actualment Pau Codina forma part de l'Esbjerg Ensemble (Dinamarca) des de gener de 2019 i és membre de l'Oculi Ensemble i del Trio Fortuny.